Laboratorio 2

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Se describe el contenido del laboratorio. Es importante realizar el trabajo previo aunque este no tenga ponderación en la calificación.

Trabajo previo

Concluir con la revisión de las notas

📖 Leer CHAPTER 1: Sets and Relations y realizar un resumen o algun tipo de nota (mapa mental, mapa conceptual, etc.). No se entrega ningún tipo de evidencia.

📖 Anotar las dudas (si existen) de las clases previas a este laboratorio.

Notas

📋 Tema 1

📋 Tema 2

Códigos

Normas

En general, sea \(1 \leq p <\infty\). Se define la norma \(p\) en \(\mathbb{R}^n\) por:

\[ \mathcal{N}_p(\vec{x})=\|\vec{x}\|_p=\left\{\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^p\right\}^{1 / p} \]

Y par \(p = \infty\) se define la norma infinita se define como

\[ \|\vec{x}\|_{\infty}=\max \left\{\left|x_1\right|,\left|x_2\right|, \ldots,\left|x_n\right|\right\} \]

Se pueden realizr gráficas para \(\mathbb{R}^2\), pues en ese caso \(\mathcal{N}_p:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+\)

library(plot3D)
library(plotly)

d <- function(p){

M <- mesh(seq(-1, 1, length.out = 100),seq(-1, 1, length.out = 100))
x <- M$x
y <- M$y

if(p == "inf")
{
  z <-  pmax(abs(x),abs(y))
}
else{
z <-  (abs(x) ^p +   abs(y) **p)**(1/p)
}
#surf3D(x, y, z, colvar = z, colkey = TRUE, 
#       box = TRUE, bty = "b", phi = 20, theta = 120)

fig <- plot_ly(x=x,y=y,z = z) %>% add_surface() 


return(fig)
}

Norma uno

d(1)

Norma uno punto cinco

d(1.5)

Norma dos

d(2)

Norma diez

d(10)

Norma infinito

d("inf")

Curvas de nivel

Sucesiones

library(plotly)

sec <- function(num) return(seq(1,num)) 

f1 <- function(n) return(1/n)


sucesion <- function(x,y, limite = ""){
  
  datos <- data.frame(x=x, y = y)

  fig <- plot_ly(datos, 
               x = ~x,
               y = ~y, 
               name = "f_t",
               type = 'scatter',
               mode = 'lines+markers') %>%
        layout(title = "Gráfica de la sucesión",
               xaxis =  list(title ="n"))
  hline <- function(y = 0, color = "black") {
  list(
    type = "line",
    x0 = 0,
    x1 = 1,
    xref = "paper",
    y0 = y,
    y1 = y,
    line = list(color = color)
  )
}

  if(limite!="")
    fig <- fig %>% layout(shapes = list(hline(limite)))

  return(fig)
}

Ejemplo

Sea la sucesión \(\left\{\frac{1}{n}\right\}\), gráfica la sucesión, considera que el límite es \(0\)

n <- sec(10)
y <- f1(n)
sucesion(n,y,0)

Ejemplo

Sea la sucesión \(s(n)=1- \frac{1}{n}\), gráfica la sucesión, considera que el límite es \(1\)

f2 <- function(n) return(1-1/n)

n <- sec(20)
y <- f2(n)
sucesion(n,y,1)

Ejemplo

Sea \(\alpha>1\). En \((\mathbb{R},|\cdot|)\), definamos la sucesión \(\left\{x_n\right\}_{n \geq 1} \subseteq \mathbb{R}\) de la siguiente manera: \(x_1>\sqrt{\alpha}\) y

\[ x_{n+1}=\frac{x_n+\alpha}{x_n+1} \]

Realiza la gráfica para

• \(\alpha = 2\)
• \(\alpha = 4\)
• \(\alpha = 81\)

Y una elección de \(x_1\) ¿A que calor converge la sucesión?

f3 <- function(n,alpha,x1){
  y <- x1
  for(i in 2:n){
    val <- (y[i-1] + alpha) / (y[i-1]+1)
    y <- c(y,val)
  }
  
  return(y)
}

n <- 20
alpha <-2
x1 <- 10
y <- f3(n, alpha, x1)
sucesion(1:n,y)

n <- 20
alpha <-4
x1 <- 10
y <- f3(n, alpha, x1)
sucesion(1:n,y)

n <- 30
alpha <-81
x1 <- 10
y <- f3(n, alpha, x1)
sucesion(1:n,y)

La sucesión converge a \(\sqrt{\alpha}\)

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